Czwarty wymiar – cz. 1: Kształt Wszechświata

Czy czwarty wymiar przestrzenny naprawdę istnieje? Co na jego temat mówi nam zarówno fizyka kwantowa, jak i matematyka?

W 2018 roku dwa eksperymenty fizyczne uchyliły rąbka tajemnicy potencjalnie nieznanego obszaru naszej rzeczywistości¹. Zespoły naukowe z Europy i USA postanowiły sprawdzić, czy istnieje fizyczny dowód na to, że może istnieć czwarty wymiar przestrzenny. W fizyce kwantowej zachodzi czasem tzw. kwantowe zjawisko Halla, które ma charakter dwuwymiarowy. Obliczenia amerykańskiego profesora Odeda Zilberberga wykazały jednak, że podobne zjawisko można zaobserwować w systemie czterowymiarowym. W tym celu jeden z zespołów wykorzystał schłodzone do absolutnego zera atomy rubidu, a drugi wiązkę fotonów. Eksperymenty udowodniły, że Efekt Halla rzeczywiście zachodzi w taki sposób, jakby czwarty wymiar przestrzenny naprawdę istniał^2,3!

Odkrycia te były dość szokujące dla naukowców na całym świecie⁴. Dotychczas byliśmy przyzwyczajeni do myślenia o trzech wymiarach przestrzennych i jednym czasowym. Jednak co najmniej od XVIII wieku matematycy zadają pytanie: a co, jeśli mogą istnieć więcej niż trzy wymiary? Do pierwszych matematyków, którzy zaproponowali i rozwinęli koncepcję przestrzeni czterowymiarowej należeli Jean le Rond d’Alembert (1717-1783), Ludwig Schläfli (1814-1895) i Charles Howard Hinton (1853-1907). Z czasem o czwartym wymiarze zaczęli myśleć fizycy, tacy jak Albert Einstein (1879-1955), który jednak uznał, że tym wymiarem jest czas. Obecnie dość popularną teorią matematyczną jest teoria strun, która przewiduje nie cztery wymiary czasoprzestrzeni, ale nawet jedenaście (przy czym siedem z nich to wymiary związane)!

Wyżej opisane eksperymenty, choć nie miały na celu dowodzić prawdziwości teorii strun, pozwoliły niejako zajrzeć w czwarty wymiar przestrzenny (zwany też piątym wymiarem, jeśli liczyć czas jako czwarty wymiar). Na razie jednak nie mamy możliwości sprawdzenia natury tego wymiaru, np. czy jest to wymiar związany czy rozwinięty. Oczywiście na przeszkodzie stoi najważniejszy fakt, że naszą rzeczywistość postrzegamy tylko w trzech wymiarach przestrzennych i jednym wymiarze czasu. Czwarty wymiar przestrzenny pozostaje zatem konstruktem czysto matematycznym – przynajmniej na razie⁵.

Wymiary przestrzenne – podstawy

Zostawmy jednak hipotetyczne wymiary zwinięte i zastanówmy się, jak mógłby wyglądać rozwinięty czwarty wymiar przestrzenny. Choć człowiek nie może go postrzegać, to, jak wspomnieliśmy wyżej, można go z powodzeniem opisać za pomocą matematyki⁶. Na początek podstawa: jak zdefiniować wymiary przestrzenne? Przede wszystkim każdy dodatkowy wymiar jest definiowany jako przestrzeń pozwalająca na lokalizację obiektu w linii prostopadłej do pozostałych wymiarów. Całkowita ilość wymiarów nie ma tu znaczenia.

Gdy chcemy opisać jakiś punkt na dwuwymiarowej płaszczyźnie, to stosujemy współrzędne x i y tego punktu. Owe współrzędne oznaczają odległość od określonego układu odniesienia, gdzie x i y wynoszą 0. A zatem x i y to długość i szerokość. Należy ponownie zauważyć, że linie o współrzędnych x=0 (y≠0) i y=0 (x≠0) są prostopadłe względem siebie, tj. kąt między nimi wynosi 90°. Trzeci wymiar, czyli wysokość, również jest prostopadły do dwóch poprzednich wymiarów i dodajemy go za pomocą współrzędnej z. Jeśli z=0, to punkt znajduje się na powierzchni płaszczyzny. Jeśli jego wartość jest inna niż 0, to punkt znajduje się nad płaszczyzną lub pod nią.

Czwarty wymiar – pozycja w przestrzeni

Zgodnie z powyższym czwarty wymiar także musi być prostopadły względem każdego z poprzednich trzech wymiarów. Mówimy zatem o teoretycznej hiperprzestrzeni, którą wyznacza linia łącząca się z naszą trójwymiarową przestrzenią (naszą rzeczywistością) pod kątem 90°. Musimy więc dodać kolejną współrzędną, która również może, ale nie musi, wynosić 0. Dla ułatwienia sobie pracy zamieńmy oznaczenia współrzędnych z x, y i z na opisujące konkretne punkty. Np. dla punktu A będą to a₁, a₂ i a₃. A zatem jego współrzędna w czwartym wymiarze to a₄.

Dla naszego eksperymentu punktem odniesienia niech będzie róg prostokątnego stołu, naszym obiektem kulka A, a odległości niech będą w cm. Jeśli współrzędne kulki A wynoszą a₁=2, a₂=0, a₃=0, a₄=0, to znaczy, że znajduje się ona 2 cm od jednej krawędzi stołu, ale na jego drugiej krawędzi. Jeśli są to a₁=5, a₂=7, a₃=0, a₄=0, to kulka leży gdzieś na środku stołu. A jeśli są to a₁=6, a₂=-5, a₃=3, a₄=0, to kulka unosi się 3 cm nad płaszczyzną stołu, ale nie nad samym stołem, tylko 5 cm obok niego.

Dotychczas w każdym z przypadków a₄ było równe 0. Co się jednak stanie, jeśli będzie ono inne niż 0, np. 1, 4 lub -10? Gdzie ta kulka będzie się znajdować? Tutaj zaczyna przeszkadzać nam ograniczenie w postrzeganiu czwartego wymiaru. W przypadku gdy a₄ naszej kulki będzie mieć inną wartość niż 0, po prostu jej nie zobaczymy. Stanie się ona dla nas niewidoczna, choć wciąż tam będzie. Gdybyśmy jednak zrównali się z pozycją a₄ naszej kulki, to zapewne znowu byśmy ją zobaczyli. Wtedy jednak sprzed naszych oczu zniknąłby cały nasz świat, w którym żyjemy, dopóki nie wrócilibyśmy do pozycji a₄=0.

Czwarty wymiar – figury geometryczne

Czwarty wymiar można opisać nie tylko za pomocą współrzędnych, ale również geometrii, a dokładniej figur geometrycznych. W jednym wymiarze możemy mieć tylko prostą linię. Dwa wymiary dają nam więcej możliwości, np. krzywe, kwadrat lub koło (okrąg) na płaszczyźnie. Z kolei trójwymiarowymi odpowiednikami kwadratu i koła (okręgu) są sześcian i kula. Te figury mają swoje odpowiedniki również w wyższych wymiarach matematycznych, gdzie mówimy o hipersześcianach i hiperkulach. Czterowymiarowym odpowiednikiem sześcianu będzie więc tzw. tesserakt, natomiast kuli 3-sfera lub glome⁷.

Są to kształty bardzo trudne dla nas do wyobrażenia, jednak wszystkie one mają swoje matematyczne wzory na powierzchnię i objętość. Dość powiedzieć, że w czwartym wymiarze tesserakt posiada czterowymiarową objętość i trójwymiarową powierzchnię. Podobnie jest z 3-sferą, której objętość i powierzchnia liczą o jeden wymiar więcej niż objętość i powierzchnia trójwymiarowej kuli. Wszystkie te cechy są zatem wzmocnione o dodatkowy wymiar, a w przypadku brył z krawędziami (czyli innymi niż 3-sfera) obejmuje to także dodatkową liczbę ich boków, krawędzi i rogów⁸.

Kształt naszego Wszechświata

Przenieśmy temat czterowymiarowej hiperprzestrzeni do makroskali. Astrofizycy często obrazowo porównują rozszerzanie się naszego trójwymiarowego Wszechświata do nadmuchiwanego balonu⁹. Dla wielu osób jest to mylący obraz. Należy zawsze podkreślać, że nasz trójwymiarowy Wszechświat jest przedstawiany przez powierzchnię balonu, a nie jego wnętrze. Analogia z balonem wskazuje zatem na Wszechświat jako trójwymiarową hiperpowierzchnię czterowymiarowej kosmicznej hiperkuli¹⁰.

Powyższy problem jest ściśle związany z problemem kształtu lub krzywizny Wszechświata. Dane naukowe obecnie wskazują na to, że jego parametr gęstości krytycznej omega (Ω) z dużym prawdopodobieństwem wynosi równe 1. To by oznaczało, że Wszechświat ma krzywiznę zerową, czyli jest geometrycznie płaski i ciągnie się w nieskończoność¹¹. Alternatywą jest Wszechświat z zamkniętą geometrią np. kulistą, gdy Ω jest większe niż 1, lub Wszechświat z otwartą geometrią w kształcie siodła, gdy Ω jest mniejsze niż 1.

Podróż dookoła Wszechświata

Wydaje się jednak bardzo mało prawdopodobne, aby taka wielkość fizyczna była absolutnie równa 1 z nieskończoną liczbą zer po przecinku. Najprawdopodobniej w którymś rzędzie cyfr po przecinku pojawiłoby się odchylenie. I jeśli byłoby to odchylenie w górę (sygnalizujące gęstość materii powodującą krzywiznę pozytywną), to Wszechświat z pewnością miałby kształt zamknięty. Cały nasz Wszechświat byłby wtedy naprawdę ogromną 3-sferą, a Wszechświat obserwowalny zajmowałby tylko maleńki fragment jej ogromnej trójwymiarowej hiperpowierzchni. Co ciekawe, dane z satelity Planck wskazują, że Wszechświat faktycznie może być zamknięty¹² (co wywołało swego rodzaju kryzys kosmologiczny).

A zatem jeśli będziemy poruszać się całkowicie prosto w jakimkolwiek kierunku we Wszechświecie, to będziemy zataczać krzywiznę w czwartym wymiarze. Analogię mamy dosłownie pod naszymi stopami – jeśli będziemy szli po Ziemi całkowicie prosto, nie zbaczając na lewo ani na prawo, to będziemy zataczać krzywiznę jedynie w trzecim wymiarze, w jakim zakrzywiona jest powierzchnia naszej planety. Ostatecznie znajdziemy się w tym samym miejscu, skąd wyruszyliśmy¹³. Tak samo może być w przypadku czterowymiarowej krzywizny Wszechświata¹⁴.

Czterowymiarowe wnętrze Wszechświata?

Jeśli tak, to wtedy nasza kosmiczna hiperkula miałaby nie tylko trójwymiarową hiperpowierzchnię, ale także czterowymiarowe hiperwnętrze. Ten wewnętrzny wymiar mógłby skrywać kolejne tajemnice istnienia naszego Wszechświata, które mogłyby rozwiązać przynajmniej niektóre problemy i paradoksy współczesnej kosmologii. Ponadto przestrzeń czterowymiarowa musiałaby rozciągać się również poza nasz Wszechświat, na zewnątrz. Dokąd ta przestrzeń mogłaby nas ostatecznie prowadzić?

Więcej na temat czwartego wymiaru w części 2.

Przypisy

1. Mandelbaum R.F., Two Experiments Show Fourth Spatial Dimension Effect, Gizmodo, 04.01.2018, https://gizmodo.com/two-experiments-show-fourth-spatial-dimension-effect-1821739488
2. Lohse M. et al., Exploring 4D quantum Hall physics with a 2D topological charge pump, “Nature”, 553, 04.01.2018, s. 55-58, https://www.nature.com/articles/nature25000
3. Zilberberg O. et al., Photonic topological boundary pumping as a probe of 4D quantum Hall physics, “Nature”, 553, 04.01.2018, s. 59-62, https://www.nature.com/articles/nature25011
4. Stando A., Istnieje czwarty wymiar. Odkrycie szokuje naukowców z całego globu, WP Tech, 10.01.2018, https://tech.wp.pl/istnieje-czwarty-wymiar-odkrycie-szokuje-naukowcow-z-calego-globu,6207807597328001a
5. Kajfosz J., U wrót przestrzeni, Oficyna Wydawnicza “Vocatio”, Warszawa 2010, s. 19-20.
6. Ibid.
7. Zob. np. Elwes R., Exotic spheres, or why 4-dimensional space is a crazy place, Plus, 12.01.2011, https://plus.maths.org/content/richard-elwes.
8. Kajfosz J., op. cit., s. 21-23, 29-31.
9. Zob. np. https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/11-6-the-big-bang
10. Wszechświat jest 4-wymiarową hiper-kulą o brzegu 3-wymiarowej sfery ekspandującej, GeekWeek, 30.11.2020, https://geekweek.interia.pl/astronomia/news-wszechswiat-jest-4-wymiarowa-hiper-kula-o-brzegu-3-wymiarowe,nId,5546829
11. Sutter P., The Universe Is Flat — Now What?, Space.com, 07.12.2016, https://www.space.com/34928-the-universe-is-flat-now-what.html
12. Di Valentino E. et al., Planck evidence for a closed Universe and a possible crisis for cosmology, “Nature Astronomy”, 4, 04.11.2019, s. 196-203, https://www.nature.com/articles/s41550-019-0906-9
13. Nie licząc oczywiście faktu, że Ziemia nie jest idealną kulą, lecz geoidą, której średnica biegunowa jest 42 km mniejsza niż średnica równikowa.
14. Bardziej obrazowo wyjaśnia to Carl Sagan w jednym z odcinków serialu Kosmos: https://www.youtube.com/watch?v=3WL_vtu4r1w